Упр.27.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) 2х = sinx [0; + бесконечность); в) 7х = cos х, [0; +бесконечность); б) (4/5)x= cosx, (-бесконечность; 0]; г) log3(x) = sinx, (0; 3]?
а) $$2^x=\sin x,\quad [0;+\infty)$$
Функция $$y=2^x$$ возрастает при всех $$x$$ и на промежутке $$[0;+\infty)$$ принимает значения не меньше $$1$$, так как $$2^0=1$$.
Функция $$y=\sin x$$ ограничена: $$-1\le \sin x\le 1$$.
При $$x\ge 0$$ имеем $$2^x\ge 1$$, а равенство $$2^x=\sin x$$ невозможно, потому что $$\sin x\le 1$$ и при $$x=0$$ получаем $$2^0=1\ne \sin 0=0$$.
Следовательно, корней нет.
б) $$\left(\frac45\right)^x=\cos x,\quad (-\infty;0]$$
Функция $$y=\left(\frac45\right)^x$$ убывает при всех $$x$$. На промежутке $$(-\infty;0]$$ она принимает значения не меньше $$1$$, так как $$\left(\frac45\right)^0=1$$.
Функция $$y=\cos x$$ ограничена: $$-1\le \cos x\le 1$$.
При $$x\le 0$$ равенство возможно только при $$x=0$$, потому что тогда
$$\left(\frac45\right)^0=1,\qquad \cos 0=1.$$
Значит, корень один.
в) $$7^x=\cos x,\quad [0;+\infty)$$
Функция $$y=7^x$$ возрастает при всех $$x$$ и на промежутке $$[0;+\infty)$$ имеет значение $$7^0=1$$ при $$x=0$$.
Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то при $$x\ge 0$$ равенство возможно только при $$x=0$$:
$$7^0=1,\qquad \cos 0=1.$$
Следовательно, корень один.
г) $$\log_3 x=\sin x,\quad (0;3]$$
Рассмотрим функции $$y=\log_3 x$$ и $$y=\sin x$$ на промежутке $$ (0;3] $$.
Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает, а $$y=\sin x$$ на этом промежутке принимает значения от $$0$$ до числа, меньшего $$1$$. Графики пересекаются один раз.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ
а) 0; б) 1; в) 1; г) 1.
