Упр.27.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение,используя функционально- графические методы: 27.21 а)x=корень 3 степени x;б)|x|=корень 5 степени x.

а) Рассмотрим графики функций $$y=x$$ и $$y=\sqrt[3]{x}.$$

Точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$x=\sqrt[3]{x}.$$

Возведём обе части в куб:

$$x^3=x.$$

$$x^3-x=0$$

$$x(x^2-1)=0$$

$$x(x-1)(x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=-1,\;0,\;1.$$

б) Рассмотрим графики функций $$y=|x|$$ и $$y=\sqrt[5]{x}.$$

Точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$|x|=\sqrt[5]{x}.$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то и $$\sqrt[5]{x}\ge 0,$$ значит, $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и уравнение принимает вид

$$x=\sqrt[5]{x}.$$

Возведём обе части в пятую степень:

$$x^5=x$$

$$x^5-x=0$$

$$x(x^4-1)=0$$

$$x(x^2-1)(x^2+1)=0.$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем

$$x=0 \text{ или } x=1.$$

Ответ

а) $$x=-1,\;0,\;1.$$ б) $$x=0,\;1.$$