Упр.27.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\lg^2 x+\lg 10x-6=0$$
   
   $$\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg x$$
   
   Пусть $$y=\lg x$$, тогда
   $$y^2+y+1-6=0,$$
   $$y^2+y-5=0.$$
   
   $$D=1+20=21,$$
   
   $$y=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$
   
   Тогда
   $$x=10^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}} \quad \text{или} \quad x=10^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}.$$
2. $$3^x+3^{-x+1}=4$$
   
   $$3^x+\frac{3}{3^x}-4=0.$$
   
   Пусть $$y=3^x$$, тогда
   $$y+\frac{3}{y}-4=0,$$
   $$y^2-4y+3=0.$$
   
   $$D=16-12=4,$$
   
   $$y_1=1,\quad y_2=3.$$
   
   Тогда
   $$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$
   $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
3. $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$
   
   Пусть $$y=\cos x$$, тогда
   $$2y^2-7y-4=0.$$
   
   $$D=49+32=81,$$
   
   $$y_1=\frac{7-9}{4}=-\frac12,\quad y_2=\frac{7+9}{4}=4.$$
   
   Значение $$y=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
   
   Поэтому
   $$\cos x=-\frac12,$$
   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$5^{2\sqrt{x}}+125=6\cdot 5^{\sqrt{x}+1}$$
   
   $$5^{2\sqrt{x}}+125=30\cdot 5^{\sqrt{x}}.$$
   
   Пусть $$y=5^{\sqrt{x}}$$, тогда
   $$y^2-30y+125=0.$$
   
   $$D=900-500=400,$$
   
   $$y_1=5,\quad y_2=25.$$
   
   Тогда
   $$5^{\sqrt{x}}=5 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1,$$
   $$5^{\sqrt{x}}=25 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

Ответ

а) $$x=10^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}},\ 10^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}$$;
б) $$x=0,\ 1$$;
в) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=1,\ 4$$.