Упр.27.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Если функция $$h(x)$$ монотонна, то из равенства $$h(f(x))=h(g(x))$$ следует равносильность уравнений $$f(x)=g(x)$$, но только при условии, что обе части принадлежат области определения функции $$h$$.
а) $$\left(2x^4+1\right)^5=\left(1-x^3\right)^5$$
Функция $$y=x^5$$ монотонна на $$\mathbb{R}$$, а обе части определены при всех $$x\in\mathbb{R}$$. Значит, достаточно решить
$$2x^4+1=1-x^3.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
б) $$\log_{0,2}(2\sin x-1)=\log_{0,2}(3-\sin^2 x)$$
Функция $$y=\log_{0,2}x$$ монотонна, поэтому нужно решить уравнение
$$2\sin x-1=3-\sin^2 x.$$
Но сначала проверим ОДЗ:
$$2\sin x-1>0,\qquad 3-\sin^2 x>0.$$
Из первого неравенства получаем $$\sin x>\frac12$$, а из второго условие выполняется всегда, так как $$\sin^2 x\le 1$$.
Решим уравнение:
$$\sin^2 x+2\sin x-4=0.$$
Обозначим $$t=\sin x$$. Тогда
$$t^2+2t-4=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20,$$
$$t=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5.$$
Из двух корней подходит только $$\sin x=\sqrt5-1$$, так как второй корень меньше $$-1$$ и не может быть значением синуса. При этом $$\sqrt5-1>\frac12$$, значит ОДЗ выполнена.
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
в) $$\sqrt[6]{2^x-1}=\sqrt[6]{5-3\cdot 2^x}$$
Функция $$y=\sqrt[6]{x}$$ монотонна на своей области определения, поэтому нужно решить
$$2^x-1=5-3\cdot 2^x.$$
Проверим ОДЗ:
$$2^x-1\ge 0,\qquad 5-3\cdot 2^x\ge 0.$$
Решаем уравнение:
$$2^x-1=5-3\cdot 2^x,$$
$$4\cdot 2^x=6,$$
$$2^x=\frac32.$$
Это значение удовлетворяет ОДЗ, значит уравнения равносильны.
Ответ: да.
г) $$\cos(3^x-1)=\cos(3-9^x)$$
Функция $$y=\cos x$$ не является монотонной на всей области определения, поэтому из равенства $$\cos A=\cos B$$ нельзя сразу заключить, что $$A=B$$.
Следовательно, данные уравнения не равносильны.
Ответ: нет.