Упр.27.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.18. а) 2х + 2(1-x) =3; в) 5х + 4 = 5(2x+1); б) 25(-x) — 50 = 5(-x+1; г) 3(x + 1) — 29 = -18 * 3(-x).

Подробный ответ

а) Введём новую переменную: $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$2^x+2^{1-x}=3$$
$$y+\frac{2}{y}=3.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-3y+2=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad y_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
Тогда:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
б) Пусть $$y=5^{-x},\quad y>0.$$ Тогда
$$25^{-x}-50=5^{-x+1}$$
$$5^{-2x}-50=5\cdot 5^{-x}$$
$$y^2-5y-50=0.$$
$$D=25+200=225,$$
$$y_1=\frac{5-15}{2}=-5,\quad y_2=\frac{5+15}{2}=10.$$
Так как $$y>0,$$ значение $$y=-5$$ не подходит. Остаётся:
$$5^{-x}=10,$$
$$-x=\log_5 10,$$
$$x=-\log_5 10.$$
в) Пусть $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$5^x+4=5^{2x+1}$$
$$y+4=5y^2,$$
$$5y^2-y-4=0.$$
$$D=1+80=81,$$
$$y_1=\frac{1-9}{10}=-\frac45,\quad y_2=\frac{1+9}{10}=1.$$
Так как $$y>0,$$ значение $$y=-\frac45$$ не подходит. Тогда
$$5^x=1 \Rightarrow x=0.$$
г) Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$3^{x+1}-29=-18\cdot 3^{-x}$$
$$3y-29+\frac{18}{y}=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$3y^2-29y+18=0.$$
$$D=29^2-4\cdot 3\cdot 18=625,$$
$$y_1=\frac{29-25}{6}=\frac23,\quad y_2=\frac{29+25}{6}=9.$$
Тогда:
$$3^x=\frac23 \Rightarrow x=\log_3\frac23=\log_3 2-1,$$
$$3^x=9 \Rightarrow x=2.$$