Упр.27.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.16. a) sin2х = sinx; б) cos2 (Пи — х) + sin 2х = 0; в) корень соsЗх = sin 6х; г) sin2(Пи+x/2)-1/2 sinx=0.

1. а)

   $$\sin 2x=\sin x$$
   $$2\sin x\cos x-\sin x=0$$
   $$\sin x(2\cos x-1)=0$$

   Отсюда:
   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
   $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2. б)

   $$\cos^2(\pi-x)+\sin 2x=0$$
   $$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$
   $$\cos x(\cos x+2\sin x)=0$$

   Тогда:
   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$\cos x+2\sin x=0 \Rightarrow 1+2\tan x=0 \Rightarrow \tan x=-\frac12 \Rightarrow x=-\arctg\frac12+\pi n.$$

3. в)

   $$\sqrt{3}\cos 3x=\sin 6x$$
   $$\sqrt{3}\cos 3x=2\sin 3x\cos 3x$$
   $$\cos 3x(\,2\sin 3x-\sqrt{3}\,)=0$$

   Отсюда:
   $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$
   $$2\sin 3x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow \sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 3x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

4. г)

   $$\sin^2\left(\pi+\frac{x}{2}\right)-\frac12\sin x=0$$
   $$\sin^2\frac{x}{2}-\frac12\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$
   $$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)=0$$

   Тогда:
   $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n,$$
   $$\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \tan\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctg\frac12+\pi n$$

в) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ (-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$

г) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$