Упр.27.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 27.15. a) 2x2sinx — 8 sin x + 4 = х2; б) 2x2cosx + 9 = 18 cos x + х2.

а)

$$2x^2\sin x-8\sin x+4=x^2$$
$$2x^2\sin x-8\sin x+4-x^2=0$$
$$2\sin x(x^2-4)-(x^2-4)=0$$
$$\left(2\sin x-1\right)\left(x^2-4\right)=0$$

Тогда

$$2\sin x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-4=0$$
$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=\pm 2$$

Если $$\sin x=\frac12,$$ то
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$2x^2\cos x+9=18\cos x+x^2$$
$$2x^2\cos x-18\cos x+9-x^2=0$$
$$2\cos x(x^2-9)-(x^2-9)=0$$
$$\left(2\cos x-1\right)\left(x^2-9\right)=0$$

Тогда

$$2\cos x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-9=0$$
$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=\pm 3$$

Если $$\cos x=\frac12,$$ то
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \pm 2.$$
б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \pm 3.$$