Упр.27.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.10 а)(корень 3)lgx=3корень 3/3lgx; б)(корень 2)2сosx=1/(2*2cosx).

Подробный ответ

а) Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда уравнение можно переписать так:
$$ (\sqrt{3})^{\tg x}=\frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}. $$
Представим правую часть в виде степени с основанием $$\sqrt{3}$$:
$$ \frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}=\frac{(\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2\tg x}}=(\sqrt{3})^{3-2\tg x}. $$
Тогда
$$ (\sqrt{3})^{\tg x}=(\sqrt{3})^{3-2\tg x}. $$
Так как основания равны и больше $$0$$, приравниваем показатели:
$$ \tg x=3-2\tg x. $$
Отсюда
$$ 3\tg x=3,\qquad \tg x=1. $$
Следовательно,
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}. $$

б) Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда
$$ (\sqrt{2})^{2\cos x}=\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}. $$
Запишем правую часть через основание $$\sqrt{2}$$:
$$ \frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}=\frac{(\sqrt{2})^0}{(\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{2})^{2\cos x}}=(\sqrt{2})^{-2-2\cos x}. $$
Тогда
$$ (\sqrt{2})^{2\cos x}=(\sqrt{2})^{-2-2\cos x}. $$
Приравниваем показатели:
$$ 2\cos x=-2-2\cos x. $$
Отсюда
$$ 4\cos x=-2,\qquad \cos x=-\frac12. $$
Следовательно,
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}. $$