Упр.26.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Равносильны ли уравнения: 26.7 а)3^(корень x+ 4) *(1/3(x)=1; корень 0,5x * 2×2 корень 2=4 и x2-x/2+1/2=2?

а) Рассмотрим уравнения $$3^{\sqrt{x}+4}\cdot \left(\frac13\right)^x=1$$ и $$\sqrt{x}+4-x=0.$$

Преобразуем первое уравнение:

$$3^{\sqrt{x}+4}\cdot 3^{-x}=1,$$

$$3^{\sqrt{x}+4-x}=3^0.$$

Так как основание $$3>0$$ и $$3\neq 1,$$ то равенство возможно тогда и только тогда, когда равны показатели:

$$\sqrt{x}+4-x=0.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да.

б) Рассмотрим уравнения $$\sqrt{0{,}5^x}\cdot 2^{x^2}\cdot \sqrt{2}=4$$ и $$x^2-\frac{x}{2}+\frac12=2.$$

Преобразуем первое уравнение:

$$\left(\frac12\right)^{\frac{x}{2}}\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{\frac12}=4,$$

$$2^{-\frac{x}{2}}\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{\frac12}=2^2,$$

$$2^{x^2-\frac{x}{2}+\frac12}=2^2.$$

Так как основания одинаковые и $$2>0,$$ $$2\neq 1,$$ получаем:

$$x^2-\frac{x}{2}+\frac12=2.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да.