Упр.26.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.6. Равносильны ли уравнения: а) корень 2х2 + 2 = корень x4 + 3 и 2х2 + 2 = х4 + 3; б) корень 4 степени sin2(х) + 1 = 1 и sin2(x) = О?

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{2x^2+2}=\sqrt{x^4+3}.$$

Обе части определены при всех $$x\in \mathbb{R},$$ так как

$$2x^2+2\ge 0,\qquad x^4+3\ge 0.$$

Кроме того, обе части неотрицательны. Тогда можно возвести обе части в квадрат:

$$ \left(\sqrt{2x^2+2}\right)^2=\left(\sqrt{x^4+3}\right)^2 $$

получаем

$$2x^2+2=x^4+3.$$

Значит, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt[4]{\sin^2 x+1}=1.$$

Оно имеет смысл при всех $$x\in \mathbb{R},$$ так как

$$\sin^2 x+1\ge 0.$$

Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в четвертую степень:

$$ \left(\sqrt[4]{\sin^2 x+1}\right)^4=1^4 $$

получаем

$$\sin^2 x+1=1,$$

то есть

$$\sin^2 x=0.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ

а) да; б) да.