Упр.26.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.5. Объясните, почему равносильны уравнения: а) x37 — 12×2 + 1 = 0 и х37 + = х2 б) корень 5 степени х2 — 2х — 3 = 2 и х2 — х -2 =332

а) Из уравнения $$x^{37}-12x^2+1=0$$ перенесём $$12x^2$$ в правую часть:

$$x^{37}+1=12x^2.$$

Если из второго уравнения $$x^{37}+1=12x^2$$ вычесть $$12x^2$$, получим:

$$x^{37}+1-12x^2=0,$$

то есть снова первое уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt[5]{x^2-2x-3}=2.$$

Возведём обе части в пятую степень. Так как функция $$y^5$$ взаимно однозначна на множестве действительных чисел, получаем равносильное уравнение:

$$x^2-2x-3=2^5,$$

то есть

$$x^2-2x-3=32.$$

Следовательно, данные уравнения равносильны.

Ответ

а) Уравнения равносильны, так как одно получается из другого простым переносом слагаемого из одной части в другую.
б) Уравнения равносильны, так как возведение в пятую степень и извлечение корня пятой степени взаимно обратны на множестве действительных чисел.