Упр.26.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.2. Равносильно ли уравнение sin x = 0 уравнению: а) cos х = 1; в) cos 2х = 1; б) tgx = 0; г) корень (х — 1)* sinx = О?

Подробный ответ

Решим исходное уравнение:

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

$$\cos x=1.$$
Его решения:
$$x=2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
Это не все решения уравнения $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.
$$\tg x=0.$$
Его решения:
$$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
Совпадает с решениями уравнения $$\sin x=0$$, значит, уравнения равносильны.
$$\cos 2x=1.$$
Решения:
$$2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
Совпадает с решениями уравнения $$\sin x=0$$, значит, уравнения равносильны.
$$\sqrt{x-1}\cdot \sin x=0.$$
Область определения:
$$x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1.$$
Произведение равно нулю, если
$$\sqrt{x-1}=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$
Тогда
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z},\; x\ge 1.$$
Это не совпадает с множеством решений $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.