Упр.26.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.17. а) Найдите сумму натуральных значений параметра и при которых уравнение (корень (х — 4) — 2)(х — а) = 0 имеет единственный корень. б) Сколько имеется натуральных значений параметра a, при которых уравнение (log3(2x — 11) — 1)(х2 — а2) = О имеет единственный корень?

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x-4}-2\right)(x-a)=0.$$

Область допустимых значений:

$$x-4\ge 0,\quad x\ge 4.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x-4}-2=0$$

$$\sqrt{x-4}=2$$

$$x-4=4$$

$$x=8.$$

2) $$x-a=0$$

$$x=a.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы второй корень либо не входил в ОДЗ, либо совпадал с первым.

Если $$a=8,$$ то корень один: $$x=8.$$

Если $$a<4,$$ то значение $$x=a$$ не принадлежит ОДЗ, и остаётся только корень $$x=8.$$

Натуральные значения $$a$$, подходящие в этом случае: $$1,2,3.$$

Итак, подходят $$a=1,2,3,8.$$ Их сумма:

$$1+2+3+8=14.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\log_3(2x-11)-1\right)(x^2-a^2)=0.$$

ОДЗ:

$$2x-11>0,\quad x>\frac{11}{2}.$$

Произведение равно нулю, если:

1) $$\log_3(2x-11)-1=0,$$

$$\log_3(2x-11)=1,$$

$$2x-11=3,$$

$$x=7.$$

2) $$x^2-a^2=0,$$

$$x=\pm a.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы из чисел $$\pm a$$ только одно удовлетворяло ОДЗ, либо оба корня совпали с $$7$$.

При натуральных $$a=1,2,3,4,5$$ число $$-a$$ не подходит, а $$a<\frac{11}{2}$$, значит второй множитель не даёт корней. Тогда единственный корень — $$x=7.$$

При $$a=7$$ второй множитель даёт корни $$x=7$$ и $$x=-7,$$ из которых подходит только $$7.$$

При $$a\ge 6,\ a\ne 7$$ число $$a$$ тоже удовлетворяет ОДЗ, поэтому корней будет два.

Значит, подходят значения $$a=1,2,3,4,5,7.$$ Их количество равно $$6.$$