Упр.26.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.16. Найдите целочисленный корень уравнения: а)log2(7+6x-x2)-log2(x-2)/(10x-24-x2)=2; б)log12(6+5x-x2)/(x2-9x+20)= 2^корень (x-2).

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$ 7+6x-x^2>0,\quad x-2>0,\quad 10x-24-x^2\ne 0. $$

Из первого неравенства:

$$ x^2-6x-7<0 $$
$$ (x+1)(x-7)<0 $$
$$ -1<x<7. $$

Из второго неравенства:

$$ x>2. $$

Из третьего:

$$ 10x-24-x^2\ne 0 $$
$$ x^2-10x+24\ne 0 $$
$$ (x-4)(x-6)\ne 0, $$
то есть $$x\ne 4$$ и $$x\ne 6$$.

Следовательно, в ОДЗ целые значения: $$x=3$$ и $$x=5$$.

Проверим их:

$$ x=3:\quad \frac{\log_2(7+6\cdot 3-3^2)-\log_2(3-2)}{10\cdot 3-24-3^2} = \frac{\log_2 16-\log_2 1}{-3} = \frac{4-0}{-3}\ne 2. $$

$$ x=5:\quad \frac{\log_2(7+6\cdot 5-5^2)-\log_2(5-2)}{10\cdot 5-24-5^2} = \frac{\log_2 12-\log_2 3}{1} = \log_2 4 = 2. $$

Значит, целочисленный корень уравнения: $$x=5$$.

б) Найдём ОДЗ:

$$ 6+5x-x^2>0,\quad x-2\ge 0,\quad x^2-9x+20\ne 0. $$

Из первого неравенства:

$$ x^2-5x-6<0 $$
$$ (x+1)(x-6)<0 $$
$$ -1<x<6. $$

Из второго:

$$ x\ge 2. $$

Из третьего:

$$ x^2-9x+20\ne 0 $$
$$ (x-4)(x-5)\ne 0, $$
то есть $$x\ne 4$$ и $$x\ne 5$$.

Следовательно, в ОДЗ целые значения: $$x=2$$ и $$x=3$$.

Проверим их:

$$ x=2:\quad \frac{\log_{12}(6+5\cdot 2-2^2)}{2^2-9\cdot 2+20} = \frac{\log_{12} 12}{6} = \frac{1}{6}, \qquad 2^{-\sqrt{2-2}}=1. $$

Равенство не выполняется.

$$ x=3:\quad \frac{\log_{12}(6+5\cdot 3-3^2)}{3^2-9\cdot 3+20} = \frac{\log_{12} 12}{2} = \frac{1}{2}, \qquad 2^{-\sqrt{3-2}}=\frac{1}{2}. $$

Равенство выполняется, значит, $$x=3$$ — корень уравнения.

Ответ

а) $$5$$; б) $$3$$.