Упр.26.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.15. a) sin 2х * корень 4 — х2 = 0; б) (cos 2х — 1) * корень 9 — х2 = 0; в) (cos2(х) — sin2(х)) * корень 1 — х2 = 0; г) tg х * корень 16 — х2 = 0.

Подробный ответ

а) $$\sin 2x\cdot \sqrt{4-x^2}=0$$
Область определения:
$$4-x^2\ge 0,\quad -2\le x\le 2.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4-x^2=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z},\quad x=\frac{\pi n}{2}.$$
С учётом $$-2\le x\le 2$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2}.$$
2) $$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
б) $$(\cos 2x-1)\cdot \sqrt{9-x^2}=0$$
Область определения:
$$9-x^2\ge 0,\quad -3\le x\le 3.$$
Тогда:
$$\cos 2x-1=0 \quad \text{или} \quad 9-x^2=0.$$
1) $$\cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n,\ n\in \mathbb{Z},\quad x=\pi n.$$
На отрезке $$[-3;3]$$ подходит только $$x=0.$$
2) $$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
в) $$(\cos^2 x-\sin^2 x)\cdot \sqrt{1-x^2}=0$$
Область определения:
$$1-x^2\ge 0,\quad -1\le x\le 1.$$
Произведение равно нулю, если:
$$\cos^2 x-\sin^2 x=0 \quad \text{или} \quad 1-x^2=0.$$
1) $$\cos^2 x-\sin^2 x=0 \Rightarrow \cos 2x=0.$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z},\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
С учётом $$-1\le x\le 1$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}.$$
2) $$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
г) $$\tg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0$$
Область определения:
$$16-x^2\ge 0,\quad -4\le x\le 4.$$
Тогда:
$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad 16-x^2=0.$$
1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
На отрезке $$[-4;4]$$ получаем:
$$x=-\pi,\ 0,\ \pi.$$
2) $$16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$