Упр.26.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 26.12. a) корень x4 — Зх — 1 = х2 — 1; в) корень х4 + х — 9 = 1-х2; б) корень х4 — Зх — 1 = 1 — х2; г) корень х4 + х — 9 = х2 — 1.

Подробный ответ

а)
$$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ x^4-3x-1=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1 $$
$$ 2x^2-3x-2=0 $$
$$ D=9+16=25 $$
$$ x=\frac{3\pm5}{4} $$
$$ x_1=-\frac12,\quad x_2=2 $$
Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.
б)
$$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$1-x^2\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$ x^4-3x-1=(1-x^2)^2=x^4-2x^2+1 $$
$$ 2x^2-3x-2=0 $$
$$ D=25,\quad x=\frac{3\pm5}{4} $$
$$ x_1=-\frac12,\quad x_2=2 $$
Проверка: $$x=-\frac12$$ подходит, а $$x=2$$ не подходит, так как $$1-2^2=-3<0$$.
в)
$$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2$$
Необходимо, чтобы $$1-x^2\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$ x^4+x-9=(1-x^2)^2=x^4-2x^2+1 $$
$$ 2x^2+x-10=0 $$
$$ D=1+80=81 $$
$$ x=\frac{-1\pm9}{4} $$
$$ x_1=-\frac52,\quad x_2=2 $$
Оба корня не подходят, так как правая часть в этих точках отрицательна. Корней нет.
г)
$$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1$$
Тогда $$x^2-1\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$ x^4+x-9=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1 $$
$$ 2x^2+x-10=0 $$
$$ D=81,\quad x=\frac{-1\pm9}{4} $$
$$ x_1=-\frac52,\quad x_2=2 $$
Проверка показывает, что оба корня подходят.