Упр.25.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 25.20. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живет одинаковое количество жильцов. Какова вероятность того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов этого дома: а) на первом этаже проживают не менее 15 человек; б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек; в) на четных этажах живут от 70 до 80 человек; г) выше четвертого этажа живут более 99 человек?
Обозначим через $$k$$ число опрошенных жильцов, живущих на указанных этажах. Тогда $$k$$ имеет биномиальное распределение, а при большом $$n=150$$ используем нормальную аппроксимацию:
$$ P(a \le k \le b)\approx \Phi(x_2)-\Phi(x_1), $$
где
$$ x_1=\frac{a-np}{\sqrt{npq}}, \qquad x_2=\frac{b-np}{\sqrt{npq}}, \qquad q=1-p. $$
а) На первом этаже живут не менее 15 человек. Здесь $$p=0{,}1$$, $$q=0{,}9$$.
$$ np=150\cdot 0{,}1=15, \qquad npq=150\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9=13{,}5. $$
$$ x_1=\frac{15-15}{\sqrt{13{,}5}}=0, \qquad x_2=\frac{150-15}{\sqrt{13{,}5}}\approx 36{,}8. $$
$$ P\approx \Phi(36{,}8)-\Phi(0)=0{,}5. $$
б) На последних двух этажах живут не более 30 человек. Здесь $$p=0{,}2$$, $$q=0{,}8$$.
$$ np=150\cdot 0{,}2=30, \qquad npq=150\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=24. $$
$$ x_1=\frac{0-30}{\sqrt{24}}\approx -6{,}12, \qquad x_2=\frac{30-30}{\sqrt{24}}=0. $$
$$ P\approx \Phi(0)-\Phi(-6{,}12)=0{,}5. $$
в) На четных этажах живут от 70 до 80 человек. Здесь $$p=0{,}5$$, $$q=0{,}5$$.
$$ np=150\cdot 0{,}5=75, \qquad npq=150\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=37{,}5. $$
$$ x_1=\frac{70-75}{\sqrt{37{,}5}}\approx -0{,}82, \qquad x_2=\frac{80-75}{\sqrt{37{,}5}}\approx 0{,}82. $$
$$ P\approx \Phi(0{,}82)-\Phi(-0{,}82)=2\Phi(0{,}82)\approx 0{,}5878. $$
г) Выше четвертого этажа живут более 99 человек. Здесь $$p=0{,}6$$, $$q=0{,}4$$.
$$ np=150\cdot 0{,}6=90, \qquad npq=150\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4=36. $$
$$ x_1=\frac{100-90}{\sqrt{36}}=\frac{10}{6}\approx 1{,}66, \qquad x_2=\frac{150-90}{\sqrt{36}}=10. $$
$$ P\approx \Phi(10)-\Phi(1{,}66)=0{,}5-0{,}4515=0{,}0485. $$
Ответ
а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5878$$; г) $$0{,}0485$$.
