Упр.25.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 25.19. Известно, что из всех поступавших в университет абитуриентов в среднем 60% набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали: а) от 50 до 70 человек; в) не более 60 человек; б) не менее 20 человек; г) более 69 человек?

Пусть $$X$$ — число абитуриентов из 100, набравших более 20 баллов. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=100$$, $$p=0{,}6$$, $$q=0{,}4$$.

Для приближённого вычисления используем нормальную аппроксимацию:

$$\mu=np=100\cdot 0{,}6=60,$$

$$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4}=\sqrt{24}\approx 4{,}9.$$

а) От 50 до 70 человек.

$$x_1=\frac{50-60}{4{,}9}\approx -2{,}04,\qquad x_2=\frac{70-60}{4{,}9}\approx 2{,}04.$$

По таблице функции Лапласа:

$$P\approx 0{,}4793+0{,}4793=0{,}9586.$$

б) Не менее 20 человек.

$$x_1=\frac{20-60}{4{,}9}\approx -8{,}16,\qquad x_2=\frac{100-60}{4{,}9}\approx 8{,}16.$$

Тогда

$$P\approx 0{,}5+0{,}5=1.$$

в) Не более 60 человек.

$$x_1=\frac{0-60}{4{,}9}\approx -12{,}25,\qquad x_2=\frac{60-60}{4{,}9}=0.$$

Следовательно,

$$P\approx 0+0{,}5=0{,}5.$$

г) Более 69 человек.

$$x_1=\frac{70-60}{4{,}9}\approx 2{,}04,\qquad x_2=\frac{100-60}{4{,}9}\approx 8{,}16.$$

Тогда

$$P\approx 0{,}5-0{,}4793=0{,}0207.$$

Ответ

а) $$0{,}9586$$; б) $$1$$; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}0207$$.