Упр.25.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 25.17. (Продолжение задачи 25.11.) Какова вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут: а) от 500 до 1000; в) от 500 до 520; б) от 400 до 600; г) от 490 до 510?

Для биномиального распределения используем нормальное приближение. Здесь

$$n=2500,\quad p=0{,}2,\quad q=0{,}8,$$

$$np=2500\cdot 0{,}2=500,\qquad npq=2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=400,\qquad \sqrt{npq}=20.$$

Тогда вероятность находим по формуле

$$P\approx \Phi(x_2)-\Phi(x_1),\qquad x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}.$$

1. $$500\le k\le 1000$$

   $$x_1=\frac{500-500}{20}=0,\qquad x_2=\frac{1000-500}{20}=25.$$

   $$P\approx \Phi(25)-\Phi(0)=0{,}5-0=0{,}5.$$

2. $$400\le k\le 600$$

   $$x_1=\frac{400-500}{20}=-5,\qquad x_2=\frac{600-500}{20}=5.$$

   $$P\approx \Phi(5)-\Phi(-5)=\Phi(5)+\Phi(5)=1.$$

3. $$500\le k\le 520$$

   $$x_1=\frac{500-500}{20}=0,\qquad x_2=\frac{520-500}{20}=1.$$

   $$P\approx \Phi(1)-\Phi(0)=0{,}3413.$$

4. $$490\le k\le 510$$

   $$x_1=\frac{490-500}{20}=-0{,}5,\qquad x_2=\frac{510-500}{20}=0{,}5.$$

   $$P\approx \Phi(0{,}5)-\Phi(-0{,}5)=2\Phi(0{,}5)=0{,}383.$$

Ответ

а) $$0{,}5$$; б) $$1$$; в) $$0{,}3413$$; г) $$0{,}383$$.