Упр.25.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 25.16. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найдите вероятность того, что среди 900 новорожденных будет: а) от 400 до 450 мальчиков; б) не менее 440 мальчиков; в) от 430 до 470 девочек; г) не более 460 девочек.

Пусть число мальчиков среди 900 новорождённых — случайная величина $$X$$. Тогда

$$n=900,\quad p=0{,}5,\quad q=0{,}5,\quad np=900\cdot 0{,}5=450,\quad \sqrt{npq}=\sqrt{900\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=15.$$

Используем локальную нормальную аппроксимацию и функцию Лапласа $$\Phi(x)$$.

1. а) От 400 до 450 мальчиков:

   $$ x_1=\frac{400-450}{15}\approx -3{,}33,\qquad x_2=\frac{450-450}{15}=0. $$

   $$ P=\Phi(0)-\Phi(-3{,}33)\approx 0{,}4995. $$

2. б) Не менее 440 мальчиков:

   $$ x_1=\frac{440-450}{15}\approx -0{,}67,\qquad x_2=\frac{900-450}{15}=30. $$

   $$ P=\Phi(30)-\Phi(-0{,}67)\approx 0{,}5+0{,}2454=0{,}7454. $$

3. в) От 430 до 470 девочек:

   Число девочек равно $$900-X$$, значит условие $$430\le 900-X\le 470$$ равносильно $$430\le Y\le 470$$, где $$Y$$ — число девочек. Тогда

   $$ x_1=\frac{430-450}{15}\approx -1{,}33,\qquad x_2=\frac{470-450}{15}\approx 1{,}33. $$

   $$ P=\Phi(1{,}33)-\Phi(-1{,}33)=2\Phi(1{,}33)\approx 2\cdot 0{,}4082=0{,}8164. $$

4. г) Не более 460 девочек:

   $$ x_1=\frac{0-450}{15}=-30,\qquad x_2=\frac{460-450}{15}\approx 0{,}67. $$

   $$ P=\Phi(0{,}67)-\Phi(-30)\approx 0{,}2454+0{,}5=0{,}7454. $$

Ответ

а) $$0{,}4995$$; б) $$0{,}7454$$; в) $$0{,}8164$$; г) $$0{,}7454$$.