Упр.25.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 25.12. Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счасливчик!» организован так. Ведущий записывает произвольную цифру от 0 до 9. После этого очередной участник вслух произвольно называет свою цифру от 0 до 9 Если цифры совпали, то участник проходит на следующий этап. С помощью таблицы значений функции фи найдите приближенно (с точностью до четвертого знака после запятой) вероятность того, что из 10 000 игроков на следующий этап пройдут ровно: а) 2000;б) 1000;в) 970; г) 900 человек.

Пусть успех — это совпадение цифр. Тогда вероятность успеха в одном испытании

$$p=0{,}1,\qquad q=1-p=0{,}9.$$

Для $n=10000$ имеем

$$npq=10000\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9=900,\qquad \sqrt{npq}=30.$$

Используем локальную формулу Муавра — Лапласа:

$$P_{10000}(k)\approx \frac{\varphi(x_k)}{30},\qquad x_k=\frac{k-10000\cdot 0{,}1}{30}=\frac{k-1000}{30}.$$

1. Для $k=2000$:

   $$x_{2000}=\frac{2000-1000}{30}=\frac{1000}{30}\approx 33{,}3.$$

   Значение $\varphi(33{,}3)$ практически равно нулю, значит

   $$P_{10000}(2000)\approx 0.$$

2. Для $k=1000$:

   $$x_{1000}=\frac{1000-1000}{30}=0.$$

   По таблице $\varphi(0)=0{,}3989$, поэтому

   $$P_{10000}(1000)\approx \frac{0{,}3989}{30}\approx 0{,}0133.$$

3. Для $k=970$:

   $$x_{970}=\frac{970-1000}{30}=-1.$$

   Так как $\varphi(-1)=\varphi(1)=0{,}2420$, то

   $$P_{10000}(970)\approx \frac{0{,}2420}{30}\approx 0{,}0081.$$

4. Для $k=900$:

   $$x_{900}=\frac{900-1000}{30}=-\frac{100}{30}\approx -3{,}3.$$

   Значение $\varphi(3{,}3)$ очень мало, значит

   $$P_{10000}(900)\approx 0.$$

Ответ

а) $0$; б) $0{,}0133$; в) $0{,}0081$; г) $0$.