Упр.25.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 25.11. При входе на выставку аттракционов стоит урна с четырьмя черными и одним белым шаром. Входящий вытаскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар окажется белым, то посетитель проходит на выставку бесплатно, а если черным, то покупает билет. С помощью таблицы значений функции фи найдите приближенно (с точностью до четвертого знака после запятой) вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно а) 1000;б) 500;в) 450;г) 510 человек.

Пусть успех — это случай, когда посетитель вытаскивает белый шар. Тогда

$$p=\frac{1}{4+1}=0{,}2,\qquad q=1-p=0{,}8.$$

Число посетителей, прошедших бесплатно, имеет биномиальное распределение при $$n=2500.$$

Найдём

$$npq=2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=400,\qquad \sqrt{npq}=20.$$

Используем формулу Муавра — Лапласа:

$$P_{2500}(k)\approx \frac{\varphi(x_k)}{\sqrt{npq}},\qquad x_k=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}.$$

1. Для $$k=1000$$:

   $$x_{1000}=\frac{1000-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{1000-500}{20}=25.$$

   Значение $$\varphi(25)$$ практически равно нулю, значит

   $$P_{2500}(1000)\approx 0.$$

2. Для $$k=500$$:

   $$x_{500}=\frac{500-2500\cdot 0{,}2}{20}=0.$$

   $$P_{2500}(500)\approx \frac{\varphi(0)}{20}=\frac{0{,}3989}{20}=0{,}019945\approx 0{,}02.$$

3. Для $$k=450$$:

   $$x_{450}=\frac{450-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{450-500}{20}=-2{,}5.$$

   Так как $$\varphi(-2{,}5)=\varphi(2{,}5)=0{,}0175,$$ то

   $$P_{2500}(450)\approx \frac{0{,}0175}{20}=0{,}000875\approx 0{,}0009.$$

4. Для $$k=510$$:

   $$x_{510}=\frac{510-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{510-500}{20}=0{,}5.$$

   $$P_{2500}(510)\approx \frac{\varphi(0{,}5)}{20}=\frac{0{,}3521}{20}=0{,}017605\approx 0{,}0176.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0{,}02$$; в) $$0{,}0009$$; г) $$0{,}0176$$.