Упр.25.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: В пунктах а)—г) задач 25.1—25.2 найдите значения n, k, р, q и выпишите (без вычислений) формулы для Pn(k): 25.1. а) Вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты; б) вероятность появления ровно 3 «решек» при 10 бросаниях монеты; в) вероятность появления ровно 57 нечетных цифр при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9; г) вероятность появления ровно 75 цифр, кратных трем, при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9.

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$

где $$n$$ — число испытаний, $$k$$ — число наступлений события, $$p$$ — вероятность события, $$q=1-p$$.

1. Ровно 7 орлов при 10 бросаниях монеты:

   $$n=10,\quad k=7,\quad p=0{,}5,\quad q=0{,}5.$$

   $$P_{10}(7)=C_{10}^7\cdot 0{,}5^7\cdot 0{,}5^{10-7}=C_{10}^7\cdot 0{,}5^{10}.$$

2. Ровно 3 решки при 10 бросаниях монеты:

   $$n=10,\quad k=3,\quad p=0{,}5,\quad q=0{,}5.$$

   $$P_{10}(3)=C_{10}^3\cdot 0{,}5^3\cdot 0{,}5^{10-3}=C_{10}^3\cdot 0{,}5^{10}.$$

3. Ровно 57 нечетных цифр при 100 независимых выборах цифры от 0 до 9:

   Нечетных цифр 5 из 10, значит $$p=0{,}5,\ q=0{,}5.$$

   $$n=100,\quad k=57.$$

   $$P_{100}(57)=C_{100}^{57}\cdot 0{,}5^{57}\cdot 0{,}5^{100-57}=C_{100}^{57}\cdot 0{,}5^{100}.$$

4. Ровно 75 цифр, кратных трем, при 100 независимых выборах цифры от 0 до 9:

   Цифр, кратных 3, четыре: $$0,3,6,9$$, поэтому $$p=0{,}4,\ q=0{,}6.$$

   $$n=100,\quad k=75.$$

   $$P_{100}(75)=C_{100}^{75}\cdot 0{,}4^{75}\cdot 0{,}6^{100-75}=C_{100}^{75}\cdot 0{,}4^{75}\cdot 0{,}6^{25}.$$

Ответ

а) $$n=10,\ k=7,\ p=0{,}5,\ q=0{,}5,\quad P_{10}(7)=C_{10}^7\cdot 0{,}5^{10}$$;
б) $$n=10,\ k=3,\ p=0{,}5,\ q=0{,}5,\quad P_{10}(3)=C_{10}^3\cdot 0{,}5^{10}$$;
в) $$n=100,\ k=57,\ p=0{,}5,\ q=0{,}5,\quad P_{100}(57)=C_{100}^{57}\cdot 0{,}5^{100}$$;
г) $$n=100,\ k=75,\ p=0{,}4,\ q=0{,}6,\quad P_{100}(75)=C_{100}^{75}\cdot 0{,}4^{75}\cdot 0{,}6^{25}$$.