Упр.23.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.7. Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на победу каждого из них в отдельной партии считаются равными. Какой результат А : Б оценивается как более вероятный: а) 2 : 2 или 3 : 1 3 : 1 в четырех партиях; б) 2 : 2в)четырех партиях или 3 : 3 в шести партиях; в) 3 : 1в)четырех партиях или 4 : 2 в шести партиях; г) 2 : 3в)пяти партиях или 3 : 3 в шести партиях?

Подробный ответ

Если в каждой партии шансы А и Б одинаковы, то вероятность любого конкретного результата с $$k$$ победами одного из игроков в $$n$$ партиях равна
$$P_n(k)=\frac{C_n^k}{2^n}.$$
а) В 4 партиях сравним результаты $$2:2$$ и $$3:1$$:
$$P_4(2)=\frac{C_4^2}{2^4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8},$$
$$P_4(3)=\frac{C_4^3}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.$$
Так как $$\frac{3}{8}>\frac{1}{4},$$ более вероятен результат $$2:2$$.
б) Сравним $$2:2$$ в 4 партиях и $$3:3$$ в 6 партиях:
$$P_4(2)=\frac{C_4^2}{2^4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8},$$
$$P_6(3)=\frac{C_6^3}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}.$$
Так как $$\frac{3}{8}>\frac{5}{16},$$ более вероятен результат $$2:2$$.
в) Сравним $$3:1$$ в 4 партиях и $$4:2$$ в 6 партиях:
$$P_4(3)=\frac{C_4^3}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4},$$
$$P_6(4)=\frac{C_6^4}{2^6}=\frac{15}{64}.$$
Так как $$\frac{1}{4}=\frac{16}{64}>\frac{15}{64},$$ более вероятен результат $$3:1$$.
г) Сравним $$2:3$$ в 5 партиях и $$3:3$$ в 6 партиях:
$$P_5(2)=\frac{C_5^2}{2^5}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16},$$
$$P_6(3)=\frac{C_6^3}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}.$$
Вероятности равны.