Упр.23.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.4. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили трижды. Что более вероятно в каждом из случаев а),б),в),г): то, что наступит хотя бы один «успех», или то, что наступив хотя бы одна «неудача»?

Подробный ответ

Пусть $$p$$ — вероятность успеха в одном испытании, тогда вероятность неудачи равна $$q=1-p$$.

После трёх повторений:

вероятность хотя бы одного успеха:

$$P_1=1-q^3,$$

вероятность хотя бы одной неудачи:

$$P_2=1-p^3.$$

Сравним эти вероятности для каждого случая.

а) Для вытаскивания одной кости домино успех — не дубль, неудача — дубль.
$$p=\frac{21}{28}=\frac34,\qquad q=\frac14.$$
$$P_1=1-\left(\frac14\right)^3=1-\frac1{64}=\frac{63}{64},$$
$$P_2=1-\left(\frac34\right)^3=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}.$$
Так как $$\frac{63}{64}>\frac{37}{64},$$ более вероятно наступление хотя бы одного успеха.
б) Для вытаскивания одной кости домино успех — сумма очков не меньше $$4$$, неудача — сумма очков меньше $$4$$.
Число неудачных исходов: $$\{00,01,02,03,11,12\}$$, то есть
$$q=\frac{6}{28}=\frac{3}{14},\qquad p=\frac{11}{14}.$$
$$P_1=1-\left(\frac{3}{14}\right)^3=1-\frac{27}{2744}=\frac{2717}{2744},$$
$$P_2=1-\left(\frac{11}{14}\right)^3=1-\frac{1331}{2744}=\frac{1413}{2744}.$$
Следовательно, более вероятен хотя бы один успех.
в) Для вытаскивания карты из колоды в $$36$$ карт успех — не пики, неудача — пики.
$$p=\frac{27}{36}=\frac34,\qquad q=\frac{9}{36}=\frac14.$$
$$P_1=1-\left(\frac14\right)^3=\frac{63}{64},$$
$$P_2=1-\left(\frac34\right)^3=\frac{37}{64}.$$
Более вероятно наступление хотя бы одного успеха.
г) Для вытаскивания карты из колоды в $$36$$ карт успех — туз, король или дама, неудача — любая другая карта.
$$q=\frac{4+4+4}{36}=\frac{12}{36}=\frac13,\qquad p=\frac23.$$
$$P_1=1-\left(\frac13\right)^3=1-\frac1{27}=\frac{26}{27},$$
$$P_2=1-\left(\frac23\right)^3=1-\frac8{27}=\frac{19}{27}.$$
Значит, более вероятен хотя бы один успех.