Упр.23.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.20. В п испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказалось единственное число k. Оцените, в каких пределах может находиться вероятность неудачи в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что: а) n = 9, k = 3; в) n= 99, k = 30; б) n = 999, k = 300;г) n = 99, k = 3.

Для наивероятнейшего числа успехов $$k$$ в $$n$$ испытаниях Бернулли выполняется условие

$$np-q \le k \le np+p,$$

где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$ — вероятность неудачи.

Из левой и правой границ получаем:

$$np-(1-p)\le k \le np+p,$$

то есть

$$ (n+1)p-1 \le k \le (n+1)p.$$

Отсюда

$$\frac{k}{n+1}\le p \le \frac{k+1}{n+1},$$

а значит для вероятности неудачи $$q=1-p$$:

$$1-\frac{k+1}{n+1}\le q \le 1-\frac{k}{n+1}.$$

а) $$n=9,\ k=3$$

$$\frac{3}{10}\le p \le \frac{4}{10}$$

$$0{,}3\le p \le 0{,}4$$

$$0{,}6\le q \le 0{,}7.$$

б) $$n=999,\ k=300$$

$$\frac{300}{1000}\le p \le \frac{301}{1000}$$

$$0{,}3\le p \le 0{,}301$$

$$0{,}699\le q \le 0{,}7.$$

в) $$n=99,\ k=30$$

$$\frac{30}{100}\le p \le \frac{31}{100}$$

$$0{,}3\le p \le 0{,}31$$

$$0{,}69\le q \le 0{,}7.$$

г) $$n=99,\ k=3$$

$$\frac{3}{100}\le p \le \frac{4}{100}$$

$$0{,}03\le p \le 0{,}04$$

$$0{,}96\le q \le 0{,}97.$$

Ответ

а) $$0{,}6\le q \le 0{,}7$$; б) $$0{,}699\le q \le 0{,}7$$; в) $$0{,}69\le q \le 0{,}7$$; г) $$0{,}96\le q \le 0{,}97$$.