Упр.23.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.16. Даны две концентрические окружности с радиусами 1 и 2 соответственно. На меньшей окружности отмечена точка Р. В кольце между окружностями наудачу выбраны точки А и В. Найдите вероятность того, что: а) отрезок АР имеет с меньшей окружностью только одну общую точку Р; б) отрезки АР и ВР пересекают меньшую окружность в точках, отличных от точки Р; в) хотя бы один из отрезков АР и ВР пересекает меньшую окружность в точке, отличной от точки Р; г) оба отрезка АР и ВР имеют с меньшей окружностью только одну общую точку Р.

Подробный ответ

Обозначим через $$p$$ вероятность того, что точка $$A$$ попадёт в ту часть кольца, из которой отрезок $$AP$$ имеет с меньшей окружностью только одну общую точку $$P$$.

Проведём через точку $$P$$ хорду большей окружности, касающуюся меньшей окружности. Тогда радиус меньшей окружности $$PO=1$$, радиус большей $$OE=OF=2$$, а центральный угол $$\angle EOF=120^\circ$$.

Найдём длину хорды $$EF$$ по теореме синусов:

$$ \frac{EF}{\sin \angle EOF}=\frac{OE}{\sin \angle EFO} $$

Так как $$\angle EFO=30^\circ$$, то

$$ EF=\frac{OE\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} =\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac12} =2\sqrt{3}. $$

Площадь кольца:

$$ S_{\text{кольца}}=\pi\cdot 2^2-\pi\cdot 1^2=4\pi-\pi=3\pi. $$

Площадь нужного сектора кольца равна площади сектора с углом $$120^\circ$$ минус площадь равнобедренного треугольника с основанием $$EF$$ и высотой $$PO$$:

$$ S_{\text{сект}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 2^2=\frac{4\pi}{3}, $$

$$ S_{\triangle}=\frac12\cdot EF\cdot PO=\frac12\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}. $$

Тогда

$$ S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}-S_{\triangle}=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}. $$

Следовательно,

$$ p=\frac{S_{\text{сегм}}}{S_{\text{кольца}}} =\frac{\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}}{3\pi} \approx 0{,}2607. $$

Обозначим $$q=1-p\approx 0{,}7393$$.

Тогда:

а) вероятность того, что отрезок $$AP$$ имеет с меньшей окружностью только одну общую точку $$P$$, равна $$p$$;
б) оба отрезка $$AP$$ и $$BP$$ пересекают меньшую окружность в точках, отличных от $$P$$, с вероятностью $$q^2$$;
в) хотя бы один из отрезков $$AP$$ и $$BP$$ пересекает меньшую окружность в точке, отличной от $$P$$, с вероятностью $$1-p^2$$;
г) оба отрезка $$AP$$ и $$BP$$ имеют с меньшей окружностью только одну общую точку $$P$$, с вероятностью $$p^2$$.

Подставим значения:

$$ q^2\approx 0{,}7393^2\approx 0{,}5466, $$

$$ 1-p^2\approx 1-0{,}2607^2\approx 0{,}932, $$

$$ p^2\approx 0{,}2607^2\approx 0{,}0680. $$