Упр.23.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.14. Плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от куба треугольную пирамиду. В кубе независимым образом поочередно выбирают три точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся вне пирамиды; б) в пирамиде окажется ровно одна точка; в) ровно одна точка окажется вне пирамиды; г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.
Обозначим через $$p$$ вероятность того, что одна случайно выбранная точка куба попадёт в пирамиду, а через $$q$$ — вероятность того, что она окажется вне пирамиды.
Пирамида отсекается плоскостью через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины. Её основание — половина грани куба, а высота равна ребру куба. Поэтому
$$ V_{\text{пир}}=\frac13 \cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}, $$
а объём куба равен $$a^3$$. Значит,
$$ p=\frac{V_{\text{пир}}}{V_{\text{куба}}}=\frac16,\qquad q=1-p=\frac56. $$
Используем формулу биномиального распределения:
$$ P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}, $$
где $$n=3$$.
Все три точки окажутся вне пирамиды:
$$ P_3(0)=C_3^0\left(\frac16\right)^0\left(\frac56\right)^3=\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}\approx 0{,}5787. $$
В пирамиде окажется ровно одна точка:
$$ P_3(1)=C_3^1\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^2 =3\cdot \frac16 \cdot \left(\frac56\right)^2 =\frac{75}{216}\approx 0{,}3472. $$
Ровно одна точка окажется вне пирамиды:
$$ P_3(2)=C_3^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^1 =3\cdot \left(\frac16\right)^2\cdot \frac56 =\frac{15}{216}\approx 0{,}0694. $$
Хотя бы одна точка окажется вне пирамиды:
$$ P=1-P_3(3)=1-\left(\frac16\right)^3 =1-\frac{1}{216} =\frac{215}{216}\approx 0{,}9954. $$
Ответ
а) $$0{,}5787$$; б) $$0{,}3472$$; в) $$0{,}0694$$; г) $$0{,}9954$$.
