Упр.23.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.13. Вершины квадрата лежат на сторонах правильного треугольника. В треугольнике независимым образом поочередно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся в квадрате; б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну; в) ни одна из точек не окажется в квадрате; г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.

Обозначим через $$p$$ вероятность того, что случайно выбранная точка попадёт в квадрат, а через $$q$$ — вероятность того, что она окажется вне квадрата. Тогда $$q=1-p$$.

Из геометрии рисунка:

$$ a=b+\frac{2b}{\sqrt{3}}=b\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$

Тогда

$$ S_{\text{квад}}=b^2,\qquad S_{\text{тр}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Следовательно,

$$ p=\frac{S_{\text{квад}}}{S_{\text{тр}}} =\frac{b^2}{a^2\sqrt{3}/4} =\frac{4b^2}{a^2\sqrt{3}} $$

Подставим $$a=b\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$:

$$ p=\frac{4b^2}{\sqrt{3}\,b^2\frac{(2+\sqrt{3})^2}{3}} =\frac{12}{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})^2} =\frac{12}{12+7\sqrt{3}} \approx 0{,}4974 $$

Тогда

$$ q=1-p\approx 1-0{,}4974=0{,}5026 $$

Теперь используем формулу Бернулли для $$n=4$$.

1. Все четыре точки окажутся в квадрате:

   $$ P_4(4)=p^4\approx 0{,}4974^4\approx 0{,}0612 $$

2. В квадрате и вне квадрата точек поровну, то есть две точки в квадрате и две вне его:

   $$ P_4(2)=C_4^2p^2q^2=6\cdot 0{,}4974^2\cdot 0{,}5026^2\approx 0{,}3750 $$

3. Ни одна точка не окажется в квадрате:

   $$ P_4(0)=q^4\approx 0{,}5026^4\approx 0{,}0638 $$

4. Хотя бы одна точка окажется в квадрате:

   $$ P=1-P_4(0)\approx 1-0{,}0638=0{,}9362 $$

Ответ

а) $$0{,}0612$$; б) $$0{,}3750$$; в) $$0{,}0638$$; г) $$0{,}9362$$.