Упр.23.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 23.12. При восьми бросаниях монеты орел может выпасть k = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 раз. а) Найдите соответствующие вероятности P8(k) (в процентах). б) Составьте таблицу распределения вероятностей. в) Составьте многоугольник распределения вероятностей. г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.

При восьми бросаниях монеты число выпадений орла имеет биномиальное распределение:

$$P_8(k)=C_8^k\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{8-k}=C_8^k\left(\frac12\right)^8.$$

Вычислим вероятности для всех значений $$k=0,1,2,3,4,5,6,7,8$$:

$$P_8(0)=P_8(8)=\left(\frac12\right)^8=\frac1{256}\approx 0{,}004,$$
$$P_8(1)=P_8(7)=C_8^1\left(\frac12\right)^8=\frac8{256}=0{,}031,$$
$$P_8(2)=P_8(6)=C_8^2\left(\frac12\right)^8=\frac{28}{256}\approx 0{,}109,$$
$$P_8(3)=P_8(5)=C_8^3\left(\frac12\right)^8=\frac{56}{256}\approx 0{,}219,$$
$$P_8(4)=C_8^4\left(\frac12\right)^8=\frac{70}{256}\approx 0{,}273.$$

В процентах это:

$$0{,}4\%,\ 3{,}1\%,\ 10{,}9\%,\ 21{,}9\%,\ 27{,}3\%,\ 21{,}9\%,\ 10{,}9\%,\ 3{,}1\%,\ 0{,}4\%.$$

Таблица распределения вероятностей:

Многоугольник распределения вероятностей строится по точкам:

$$\left(0;0{,}004\right),\ \left(1;0{,}031\right),\ \left(2;0{,}109\right),\ \left(3;0{,}219\right),\ \left(4;0{,}273\right),\ \left(5;0{,}219\right),\ \left(6;0{,}109\right),\ \left(7;0{,}031\right),\ \left(8;0{,}004\right).$$

Наивероятнейшее число выпадений орла — то, при котором вероятность максимальна. Здесь это $$k=4$$.

Ответ

а) $$P_8(k):\ 0{,}004;\ 0{,}031;\ 0{,}109;\ 0{,}219;\ 0{,}273;\ 0{,}219;\ 0{,}109;\ 0{,}031;\ 0{,}004.$$
б) Таблица приведена выше.
в) Точки многоугольника: $$\left(0;0{,}004\right),\ \left(1;0{,}031\right),\ \left(2;0{,}109\right),\ \left(3;0{,}219\right),\ \left(4;0{,}273\right),\ \left(5;0{,}219\right),\ \left(6;0{,}109\right),\ \left(7;0{,}031\right),\ \left(8;0{,}004\right).$$
г) $$k=4$$.