Упр.22.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.9. На оси абсциссе случайным образом выбирают точку В(х; 0), -2 меньше или равно х меньше или равно 6, и соединяют ее с фиксированной точкой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АВ к положительному направлению оси абсцисс: а) тупой;б) меньше 45 градусов;в) острый;г) больше 60 градусов?

Подробный ответ

Точка $$B(x;0)$$ выбирается равновероятно на отрезке $$[-2;6]$$, значит вероятность равна отношению длины подходящего промежутка к длине всего отрезка.

Угол наклона отрезка $$AB$$ к положительному направлению оси $$Ox$$ обозначим через $$\alpha$$. Тогда

$$\tg \alpha=\frac{4-0}{4-x}=\frac{4}{4-x}.$$

Угол тупой, если $$\tg \alpha<0$$:
$$\frac{4}{4-x}<0 \;\Rightarrow\; 4-x<0 \;\Rightarrow\; x>4.$$
Подходящий промежуток: $$[4;6]$$, его длина равна $$2$$.
$$P=\frac{2}{6-(-2)}=\frac{2}{8}=\frac14.$$
Угол меньше $$45^\circ$$, если $$0<\tg \alpha<1$$:
$$0<\frac{4}{4-x}<1.$$
Так как $$\frac{4}{4-x}>0$$, то $$x<4$$. Далее
$$\frac{4}{4-x}<1 \;\Rightarrow\; 4<4-x \;\Rightarrow\; x<0.$$
Подходящий промежуток: $$[-2;0]$$, его длина равна $$2$$.
$$P=\frac{2}{8}=\frac14.$$
Угол острый, если $$\tg \alpha>0$$:
$$\frac{4}{4-x}>0 \;\Rightarrow\; 4-x>0 \;\Rightarrow\; x<4.$$
Подходящий промежуток: $$[-2;4]$$, его длина равна $$6$$.
$$P=\frac{6}{8}=\frac34.$$
Угол больше $$60^\circ$$, если $$\tg \alpha>\sqrt{3}$$. Так как при $$x>4$$ угол тупой, то здесь нужно рассмотреть только $$x>4$$:
$$\frac{4}{4-x}>\sqrt{3}, \quad x>4.$$
При $$x>4$$ имеем $$4-x<0$$, поэтому
$$4<\sqrt{3}(4-x) \;\Rightarrow\; 4<4\sqrt{3}-x\sqrt{3}$$
$$x\sqrt{3}<4(\sqrt{3}-1)$$
$$x<\frac{4(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}=\frac{4(3-\sqrt{3})}{3}.$$
Значит, подходящий промежуток:
$$\left(4;\frac{4(3-\sqrt{3})}{3}\right).$$
Его длина равна
$$\frac{4(3-\sqrt{3})}{3}-4=\frac{4(2-\sqrt{3})}{3}.$$
Тогда
$$P=\frac{\frac{4(2-\sqrt{3})}{3}}{8}=\frac{2-\sqrt{3}}{6}.$$