Упр.22.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.8. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она: а) лежит внутри треугольника; б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник; в) лежит вне треугольника; г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Найдём сначала элементы треугольника.

Гипотенуза прямоугольного треугольника:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

Площадь треугольника:

$$S_{\triangle}=\frac12\cdot 6\cdot 8=24.$$

Площадь описанной окружности:

$$S_{\text{окр}}=\pi R^2=\pi\cdot 5^2=25\pi.$$

Площадь вписанной окружности:

$$S_{\text{впис}}=\pi r^2=\pi\cdot 2^2=4\pi.$$

1. Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника:

   $$P_a=\frac{S_{\triangle}}{S_{\text{окр}}}=\frac{24}{25\pi}.$$

2. Вероятность того, что точка лежит внутри вписанной окружности:

   $$P_b=\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{4\pi}{25\pi}=\frac{4}{25}=0{,}16.$$

3. Вероятность того, что точка лежит вне треугольника:

   $$P_c=1-P_a=1-\frac{24}{25\pi}.$$

4. Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной окружности:

   $$P_d=\frac{S_{\triangle}-S_{\text{впис}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{24-4\pi}{25\pi}.$$

Ответ

а) $$\frac{24}{25\pi}$$; б) $$0{,}16$$; в) $$1-\frac{24}{25\pi}$$; г) $$\frac{24-4\pi}{25\pi}$$.