Упр.22.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.7. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 5, ВС = 10 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ближе к прямой АВ, чем к прямой AD; б) ближе к прямой AD, чем к каждой из прямых АВ, CD; в) ближе к вершине А, чем к вершинам В и С; г) ближе к прямой АВ, чем к прямой АС.

Площадь прямоугольника $$ABCD$$ равна

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=5\cdot 10=50.$$

1. а) Точки, которые ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$AD$$, лежат по одну сторону от биссектрисы угла $$DAB$$. Эта биссектриса делит прямоугольник на два равных по площади треугольника, поэтому

   $$P=\frac{1}{2}.$$

2. б) Точки, которые ближе к прямой $$AD$$, чем к прямым $$AB$$ и $$CD$$, образуют треугольник с основанием $$AD$$ и вершиной в середине верхней стороны. Его площадь равна половине площади прямоугольника, значит

   $$P=\frac{1}{2}.$$

3. в) Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам $$AB$$ и $$AC$$. Они делят прямоугольник на части, и искомая область — прямоугольная трапеция. Найдём её площадь.

   Диагональ

   $$AC=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.$$

   Из подобия треугольников получаем

   $$\frac{AF}{AO}=\frac{AC}{AD}=\frac{5\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{2},$$

   откуда

   $$AF=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot AO.$$

   Так как $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{2},$$ то

   $$AF=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{5\sqrt{5}}{2}=\frac{25}{4}=6{,}25.$$

   Тогда площадь искомой фигуры:

   $$S=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot (EO+AF)=\frac{1}{2}\cdot 2{,}5\cdot (5+6{,}25)=14{,}0625.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{14{,}0625}{50}=0{,}28125=\frac{9}{32}.$$

4. г) Проведём биссектрису угла $$BAC$$. Тогда

   $$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

   Отсюда

   $$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{BE+EC}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}.$$

   Искомая вероятность равна отношению площади треугольника $$ABE$$ к площади прямоугольника:

   $$P=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BE}{AB\cdot BC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BE}{BC}=\frac{1}{2(1+\sqrt{5})}.$$

Ответ

а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}5$$; в) $$\frac{9}{32}$$; г) $$\frac{1}{2(1+\sqrt{5})}$$.