Упр.22.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.6. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 2, ВС = 5 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD; б) ближе к вершине А, чем к вершине С; в) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС; г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналей.

Площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

1. Точки, равноудалённые от прямых $$AB$$ и $$CD$$, лежат на средней линии прямоугольника. Она делит прямоугольник на две равные части, значит

   $$P=\frac{1}{2}.$$

2. Точки, равноудалённые от вершин $$A$$ и $$C$$, лежат на серединном перпендикуляре к диагонали $$AC$$. Он делит прямоугольник на две равные по площади части, поэтому

   $$P=\frac{1}{2}.$$

3. Точки, ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$, образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными половинам сторон прямоугольника:

   $$S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2.$$

   Тогда

   $$P=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0{,}2.$$

4. Точки, ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей, образуют часть прямоугольника, площадь которой равна

   $$S=\frac{21}{100}\cdot 10=2{,}1.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{2{,}1}{10}=0{,}21.$$

Ответ

а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}2$$; г) $$0{,}21$$.