Упр.22.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.4. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства (2×2 + 15x + 18)/(9+9x-4×2) больше или равно 0. Что более вероятно: а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно; б) то, что оно меньше -3, или то, что оно больше -3; в) то, что оно целое, или то, что оно не целое; г) то, что оно больше -5, или то, что оно меньше -2?
Рассмотрим неравенство
$$\frac{2x^2+15x+18}{9+9x-4x^2}\ge 0.$$
Найдём нули числителя и знаменателя.
$$2x^2+15x+18=0,$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 18=225-144=81,$$
$$x_1=\frac{-15-9}{4}=-6,\qquad x_2=\frac{-15+9}{4}=-\frac32.$$
Знаменатель:
$$9+9x-4x^2=0,$$
$$4x^2-9x-9=0,$$
$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=81+144=225,$$
$$x_1=\frac{9-15}{8}=-\frac34,\qquad x_2=\frac{9+15}{8}=3.$$
Тогда
$$\frac{2x^2+15x+18}{9+9x-4x^2}=\frac{2(x+6)\left(x+\frac32\right)}{-(4x-3)(x-3)}.$$
Решение неравенства:
$$x\in[-6;-\tfrac32]\cup\left(-\tfrac34;3\right).$$
Теперь сравним количества подходящих значений в каждом случае.
Положительные числа: $$\left(-\tfrac34;3\right)$$, их длина равна $$3-\left(-\tfrac34\right)=\tfrac{15}{4}.$$
Отрицательные числа: $$[-6;-\tfrac32]$$, их длина равна $$-\tfrac32-(-6)=\tfrac92.$$
Так как $$\tfrac92>\tfrac{15}{4},$$ более вероятно, что число отрицательно.
Числа меньше $$-3$$: $$[-6;-3),$$ длина $$3.$$
Числа больше $$-3$$: $$(-3;-\tfrac32]\cup\left(-\tfrac34;3\right),$$ длина
$$\left(-\tfrac32-(-3)\right)+\left(3-\left(-\tfrac34\right)\right)=\tfrac32+\tfrac{15}{4}=\tfrac{21}{4}.$$
Значит, более вероятно, что число больше $$-3.$$
Целых чисел в множестве решений: $$-6,-5,-4,-3,-2,0,1,2.$$
Их 8, а нецелых — бесконечно много. Следовательно, более вероятно, что число не целое.
Числа больше $$-5$$: $$(-5;-\tfrac32]\cup\left(-\tfrac34;3\right),$$ длина
$$\left(-\tfrac32-(-5)\right)+\left(3-\left(-\tfrac34\right)\right)=\tfrac72+\tfrac{15}{4}=\tfrac{29}{4}.$$
Числа меньше $$-2$$: $$[-6;-2),$$ длина $$4.$$
Так как $$\tfrac{29}{4}>4,$$ более вероятно, что число больше $$-5.$$
Ответ
а) отрицательно; б) больше $$-3$$; в) не целое; г) больше $$-5$$.
