Упр.22.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.22. Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка. Какова вероятность того, что длина каждого отрезка будет: а) больше 0,34; б) больше 0,25; в) меньше 0,32; г) меньше 0,5?

Подробный ответ

Обозначим длины двух первых отрезков через $$x$$ и $$y$$. Тогда длина третьего отрезка равна $$1-x-y$$, где $$x>0$$, $$y>0$$, $$x+y<1$$.

Если каждый отрезок больше $$0{,}34$$, то сумма трёх отрезков была бы больше
$$0{,}34+0{,}34+0{,}34=1{,}02>1.$$
Это невозможно, значит вероятность равна $$0$$.
Если каждый отрезок больше $$0{,}25$$, то должны выполняться неравенства
$$x>0{,}25,\quad y>0{,}25,\quad 1-x-y>0{,}25.$$
Последнее неравенство равносильно
$$x+y<0{,}75.$$
На плоскости $$xy$$ это треугольник, подобный исходному треугольнику с вершинами $$ (0,0), (1,0), (0,1) $$, у которого коэффициент подобия равен $$0{,}5$$. Поэтому отношение площадей равно
$$0{,}5^2=\frac14.$$
Но нужная область — это разность двух подобных треугольников: большого и внутреннего с сторонами $$x=0{,}25$$, $$y=0{,}25$$, $$x+y=0{,}75$$. Его площадь составляет
$$\frac14-\frac12\cdot 0{,}25^2=\frac14-\frac1{32}=\frac{1}{32}.$$
Площадь всего допустимого треугольника равна $$\frac12$$, значит
$$P=\frac{1/32}{1/2}=\frac1{16}=0{,}0625.$$
Если каждый отрезок меньше $$0{,}32$$, то сумма трёх отрезков была бы меньше
$$0{,}32+0{,}32+0{,}32=0{,}96<1.$$
Это невозможно, значит вероятность равна $$0$$.
Если каждый отрезок меньше $$0{,}5$$, то
$$x<0{,}5,\quad y<0{,}5,\quad 1-x-y<0{,}5.$$
Последнее неравенство равносильно
$$x+y>0{,}5.$$
Внутри треугольника $$x>0$$, $$y>0$$, $$x+y<1$$ это область, ограниченная прямыми $$x=0{,}5$$, $$y=0{,}5$$ и $$x+y=0{,}5$$. Она составляет четверть площади всего треугольника, поэтому
$$P=\frac14=0{,}25.$$