Упр.22.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.3. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства корень х меньше или равно 10. Найдите вероятность того, что оно: а) является решением неравенства корень х меньше или равно 1; б) принадлежит области определения функции у = ln (40x — 39 — x2); в) является решением неравенства корень (x — 10) меньше или равно 5; г) принадлежит области значений функции у = 0,5 sin( 2x + 3Пи/2)+1.

Множество всех возможных значений одинаково для всех пунктов:

$$\sqrt{x}\le 10 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 100.$$

1. Найдём вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $$\sqrt{x}\le 1.$$

   $$\sqrt{x}\le 1 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 1.$$

   Тогда

   $$P=\frac{1-0}{100-0}=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

2. Найдём область определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2).$$

   Для логарифма нужно:

   $$40x-39-x^2>0.$$

   $$x^2-40x+39<0.$$

   $$x^2-40x+39=(x-1)(x-39).$$

   Тогда

   $$1<x<39.$$

   На отрезке $$[0;100]$$ длина подходящего промежутка равна $$39-1=38$$, значит

   $$P=\frac{38}{100}=0{,}38.$$

3. Решим неравенство $$\sqrt{x-10}\le 5.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x-10\ge 0,$$

   а также

   $$x-10\le 25.$$

   Следовательно,

   $$10\le x\le 35.$$

   Тогда

   $$P=\frac{35-10}{100-0}=\frac{25}{100}=0{,}25.$$

4. Найдём область значений функции $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1.$$

   Так как

   $$-1\le \sin t\le 1,$$

   то

   $$-0{,}5\le 0{,}5\sin t\le 0{,}5,$$

   и значит

   $$0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1\le 1{,}5.$$

   Длина этого промежутка равна $$1$$, поэтому

   $$P=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

Ответ

а) $$0{,}01$$; б) $$0{,}38$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}01$$.