Упр.22.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.21. Числа р и q произвольно выбирают из отрезка [0; 1]. Какова вероятность того, что у приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0: а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный); б) нет действительных корней; в) есть два различных действительных корня; г) есть хотя бы один положительный корень?

Подробный ответ

Параметры $$p$$ и $$q$$ равномерно выбираются из квадрата $$0 \le p \le 1,\; 0 \le q \le 1$$, поэтому вероятность равна отношению площади нужной области к площади всего квадрата. Площадь всего квадрата:

$$S_{\text{вс}}=1\cdot 1=1.$$

а) Есть хотя бы один корень.
Квадратное уравнение $$x^2+px+q=0$$ всегда имеет хотя бы один корень в множестве комплексных чисел. Значит, искомая вероятность равна
$$P=1.$$
б) Нет действительных корней.
Это происходит при отрицательном дискриминанте:
$$D=p^2-4q<0 \quad \Longleftrightarrow \quad q>\frac{p^2}{4}.$$
При $$0 \le p \le 1$$ площадь нужной области:
$$S=\int_0^1 \left(1-\frac{p^2}{4}\right)\,dp =\left(p-\frac{p^3}{12}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac{1}{12} =\frac{11}{12}.$$
Тогда
$$P=\frac{S}{S_{\text{вс}}}=\frac{11}{12}.$$
в) Есть два различных действительных корня.
Это соответствует условию
$$D=p^2-4q>0 \quad \Longleftrightarrow \quad q<\frac{p^2}{4}.$$
Площадь этой области:
$$S=\int_0^1 \frac{p^2}{4}\,dp =\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{12}.$$
Следовательно,
$$P=\frac{1}{12}.$$
г) Есть хотя бы один положительный корень.
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
Так как $$0 \le p \le 1$$ и $$0 \le q \le 1$$, то $$x_1x_2=q \ge 0$$, а сумма корней $$x_1+x_2=-p \le 0$$. Два положительных корня невозможны, а если один корень положительный, то при неотрицательном произведении второй тоже должен быть положительным, что противоречит не положительной сумме. Значит, положительных корней нет.
Искомая вероятность равна $$0$$.