Упр.22.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.20. Случайным образом на координатной плоскости хОу выбирают точку Р(х; у), 0 меньше или равно х меньше или равно 4, 0 меньше или равно у меньше или равно 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами параллельными осям координат. Какова вероятность того, что площадь этого прямоугольника: а) больше 9; в) меньше 2; б) меньше 10; г) больше 4?
Площадь прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, равна $$S=xy.$$
Точка $$P(x;y)$$ выбирается в прямоугольнике $$0\le x\le 4,\quad 0\le y\le 2,$$ его площадь равна $$S_0=4\cdot 2=8.$$
а) $$S>9$$
Но при данных ограничениях $$xy\le 4\cdot 2=8,$$ значит, событие невозможно.
Вероятность равна $$0.$$
б) $$S<10$$
Так как $$xy\le 8<10,$$ то событие происходит всегда.
Вероятность равна $$1.$$
в) $$S<2$$
Найдём площадь области, где $$xy<2,$$ то есть $$y<\frac{2}{x}.$$
Кривая $$y=\frac{2}{x}$$ пересекает границы прямоугольника в точках $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(4;0{,}5\right).$$
Искомая площадь:
$$ S_1=\int_0^1 2\,dx+\int_1^4 \frac{2}{x}\,dx =2+\left.2\ln x\right|_1^4 =2+2\ln 4. $$
Тогда вероятность:
$$ P=\frac{S_1}{S_0}=\frac{2+2\ln 4}{8} =\frac{1+\ln 4}{4}. $$
г) $$S>4$$
Теперь рассматриваем область, где $$xy>4,$$ то есть $$y>\frac{4}{x}.$$
Гипербола $$y=\frac{4}{x}$$ пересекает прямоугольник в точках $$\left(2;2\right)$$ и $$\left(4;1\right).$$
Искомая площадь:
$$ S_2=\int_2^4 \left(2-\frac{4}{x}\right)\,dx =\left(2x-4\ln x\right)\Big|_2^4 =4-4\ln 2. $$
Тогда вероятность:
$$ P=\frac{S_2}{S_0}=\frac{4-4\ln 2}{8} =\frac{1-\ln 2}{2}. $$
Ответ
а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$\frac{1+\ln 4}{4}$$; г) $$\frac{1-\ln 2}{2}$$.
