Упр.22.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства 1 меньше или равно |х — 3| меньше или равно 5. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) |x| меньше или равно 2; в) |х| меньше или равно 1; б) |х — 6| меньше или равно 2; г) 1 меньше или равно |х — 6| меньше или равно 2.

Решим неравенство $$1 \le |x-3| \le 5.$$

Оно равносильно объединению двух промежутков:

$$ \begin{aligned} 1 \le x-3 \le 5 &\Rightarrow 4 \le x \le 8,\\ 1 \le 3-x \le 5 &\Rightarrow -2 \le x \le 2. \end{aligned} $$

Значит, все его решения образуют множество

$$[-2;2]\cup[4;8].$$

Теперь найдём вероятность для каждого пункта как отношение длины подходящей части к общей длине множества решений. Общая длина:

$$4+4=8.$$

1. $$|x|\le 2 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$

   Подходящая часть имеет длину $$4.$$ Тогда

   $$P=\frac{4}{8}=\frac12=0{,}5.$$

2. $$|x-6|\le 2 \Rightarrow 4\le x\le 8.$$

   Подходящая часть имеет длину $$4.$$ Тогда

   $$P=\frac{4}{8}=\frac12=0{,}5.$$

3. $$|x|\le 1 \Rightarrow -1\le x\le 1.$$

   Пересечение с множеством решений: $$[-1;1],$$ его длина равна $$2.$$

   Тогда

   $$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$

4. $$1\le |x-6|\le 2.$$

   Решим по случаям:

   $$ \begin{aligned} x\ge 6:&\quad 1\le x-6\le 2 \Rightarrow 7\le x\le 8,\\ x<6:&\quad 1\le 6-x\le 2 \Rightarrow 4\le x\le 5. \end{aligned} $$

   Подходящая часть внутри $$[-2;2]\cup[4;8]$$ равна $$[4;5]\cup[7;8].$$ Её длина:

   $$1+1=2.$$

   Тогда

   $$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$

Ответ

а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}25$$.