Упр.22.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.19. Случайным образом на координатной плоскости хОу выбирают точку Р(х; у), 0 меньше или равно х меньше или равно 4, 0 меньше или равно у меньше или равно 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника: а) больше 20; в) меньше 4; б) не больше 12;г) больше 10?

Подробный ответ

Периметр прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и диагональю $$OP$$ равен

$$P=2x+2y=2(x+y).$$

а) $$P>20$$
$$2x+2y>20 \;\Rightarrow\; x+y>10.$$
Но при $$0\le x\le 4$$ и $$0\le y\le 2$$ имеем $$x+y\le 6.$$
Следовательно, таких точек нет, значит вероятность равна $$0$$.
б) $$P\le 12$$
$$2x+2y\le 12 \;\Rightarrow\; x+y\le 6.$$
Это выполняется для всех точек прямоугольника $$0\le x\le 4,\; 0\le y\le 2$$, поэтому вероятность равна $$1$$.
в) $$P<4$$
$$2x+2y<4 \;\Rightarrow\; x+y<2 \;\Rightarrow\; y<2-x.$$
Нужная область — треугольник под прямой $$y=2-x$$ внутри прямоугольника $$0\le x\le 4,\; 0\le y\le 2$$.
Его площадь:
$$S_{\triangle}=\frac12\cdot 2\cdot 2=2.$$
Площадь всего прямоугольника:
$$S=4\cdot 2=8.$$
Тогда
$$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$
г) $$P>10$$
$$2x+2y>10 \;\Rightarrow\; x+y>5 \;\Rightarrow\; y>5-x.$$
Внутри заданного прямоугольника это маленький треугольник у точки $$P(4;2)$$.
Прямая $$y=5-x$$ пересекает стороны прямоугольника в точках $$x=3$$ и $$y=1$$, значит катеты треугольника равны $$1$$ и $$1$$.
Тогда
$$S_{\triangle}=\frac12\cdot 1\cdot 1=\frac12.$$
Искомая вероятность:
$$P=\frac{\frac12}{8}=\frac{1}{16}=0{,}0625.$$