Упр.22.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.18. Найдите значение параметра а, если известно, что вероятность указанного события равна 0,5: а) точка фигуры, ограниченной параболой у = х2, осью абсцисс и прямой х = 1, лежит левее прямой х = а; б) точка фигуры, ограниченной графиком функции у = 1/x2 осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит ниже прямой у = а; в) точка фигуры, ограниченной гиперболой у = 1/x; осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит левее прямой х = а; г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой у = 2 и графиком функции у = |х — 1|, лежит правее прямой х = а.

1. а) Для фигуры под параболой $$y=x^2$$ на отрезке $$0 \le x \le 1$$ общая площадь равна

   $$S=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13.$$

   Площадь части слева от прямой $$x=a$$:

   $$S(a)=\int_0^a x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^a=\frac{a^3}{3}.$$

   По условию вероятность равна $$0{,}5$$, значит

   $$\frac{S(a)}{S}=0{,}5 \;\Rightarrow\; \frac{a^3/3}{1/3}=0{,}5 \;\Rightarrow\; a^3=\frac12.$$

   Тогда

   $$a=\sqrt[3]{\frac12}=2^{-\frac13}.$$

2. б) Общая площадь фигуры под графиком $$y=\frac1{x^2}$$ на отрезке $$1 \le x \le 2$$:

   $$S=\int_1^2 \frac{dx}{x^2}=\left.-\frac1x\right|_1^2=\frac12.$$

   Нужно, чтобы площадь части ниже прямой $$y=a$$ составляла половину всей площади, то есть $$\frac14$$.

   Точка пересечения графика с прямой $$y=a$$ имеет абсциссу $$x=\frac1{\sqrt a}$$. Тогда

   $$S(a)=\int_1^{1/\sqrt a} a\,dx+\int_{1/\sqrt a}^2 \frac{dx}{x^2}.$$

   Вычислим:

   $$S(a)=a\left(\frac1{\sqrt a}-1\right)+\left.-\frac1x\right|_{1/\sqrt a}^2 =\sqrt a-a-\frac12+\sqrt a =2\sqrt a-a-\frac12.$$

   По условию

   $$2\sqrt a-a-\frac12=\frac14.$$

   Положим $$t=\sqrt a$$. Тогда

   $$2t-t^2-\frac12=\frac14 \;\Rightarrow\; 2t^2-4t+3=0.$$

   Удобнее записать через преобразование:

   $$4a-8\sqrt a+3=0.$$

   Пусть $$t=\sqrt a$$, тогда

   $$4t^2-8t+3=0,$$

   $$t=\frac{8\pm4}{8}=\frac12 \text{ или } \frac32.$$

   Так как $$a=t^2$$ и подходит значение $$a<1$$, получаем

   $$a=\left(\frac12\right)^2=\frac14=0{,}25.$$

3. в) Общая площадь фигуры под гиперболой $$y=\frac1x$$ на отрезке $$1 \le x \le 2$$:

   $$S=\int_1^2 \frac{dx}{x}=\ln 2.$$

   Площадь части левее прямой $$x=a$$:

   $$S(a)=\int_1^a \frac{dx}{x}=\ln a.$$

   По условию

   $$\frac{S(a)}{S}=0{,}5 \;\Rightarrow\; \frac{\ln a}{\ln 2}=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\ln a=\frac12\ln 2=\ln \sqrt2,$$

   откуда

   $$a=\sqrt2.$$

4. г) Фигура ограничена осью $$Oy$$, прямой $$y=2$$ и графиком $$y=|x-1|$$. Найдём её площадь.

   На отрезке от $$x=0$$ до $$x=3$$ верхняя граница — прямая $$y=2$$, нижняя — график $$y=|x-1|$$, поэтому

   $$S=\int_0^3 \bigl(2-|x-1|\bigr)\,dx.$$

   Разобьём интеграл по точке $$x=1$$:

   $$S=\int_0^1 (2-(1-x))\,dx+\int_1^3 (2-(x-1))\,dx$$

   $$=\int_0^1 (1+x)\,dx+\int_1^3 (3-x)\,dx.$$

   Вычислим:

   $$S=\left(x+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1+\left(3x-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_1^3 =\frac32+2=\frac72.$$

   Пусть прямая $$x=a$$ делит фигуру так, что справа остаётся половина площади:

   $$S_{\text{справа}}=\frac12S=\frac74.$$

   Так как при $$a>1$$ справа лежит треугольник с основанием $$3-a$$ и высотой $$3-a$$, то

   $$S_{\text{справа}}=\frac{(3-a)^2}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{(3-a)^2}{2}=\frac74,$$

   $$ (3-a)^2=\frac72,$$

   $$3-a=\sqrt{\frac72}=\sqrt{3{,}5}.$$

   Следовательно,

   $$a=3-\sqrt{3{,}5}.$$

Ответ

а) $$2^{-\frac13}$$; б) $$0{,}25$$; в) $$\sqrt2$$; г) $$3-\sqrt{3{,}5}$$.