Упр.22.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.17. Под аркой синусоиды у = sinx, 0 меньше или равно х меньше или равно Пи, случайным образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите вероятность того, что она лежит: а) выше прямой у = корень 2; в) ниже прямой у = корень 3/2 ; б) левее прямой х = Пи/3; г) правее прямой х = 3Пи/4.

Подробный ответ

Площадь всей фигуры под графиком $$y=\sin x$$ на отрезке $$0\le x\le \pi$$ равна

$$ S_{\text{общ}}=\int\limits_0^\pi \sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^\pi=2. $$

Вероятность равна отношению площади нужной части к площади всей фигуры.

а) Выше прямой $$y=\sqrt2$$.
Так как $$\sin x\le 1$$, а $$\sqrt2>1$$, то точек выше этой прямой в данной фигуре нет.
$$P=0.$$
б) Левее прямой $$x=\dfrac{\pi}{3}$$.
Искомая площадь:
$$ S=\int\limits_0^{\pi/3}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_0^{\pi/3} =-\cos\frac{\pi}{3}+\cos 0 =-\frac12+1=\frac12. $$
Тогда
$$ P=\frac{S}{S_{\text{общ}}}=\frac{1/2}{2}=\frac14. $$
в) Ниже прямой $$y=\dfrac{\sqrt3}{2}$$.
Уравнение $$\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ на отрезке $$[0,\pi]$$ имеет решения
$$x=\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{2\pi}{3}.$$
Тогда площадь части фигуры ниже этой прямой:
$$ S=\int\limits_0^{\pi/3}\sin x\,dx +\int\limits_{\pi/3}^{2\pi/3}\frac{\sqrt3}{2}\,dx +\int\limits_{2\pi/3}^{\pi}\sin x\,dx. $$
Вычислим:
$$ S=\left(-\cos x\Big|_0^{\pi/3}\right) +\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right) +\left(-\cos x\Big|_{2\pi/3}^{\pi}\right) $$
$$ =\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}+\frac12 =1+\frac{\pi\sqrt3}{6} =\frac{6+\pi\sqrt3}{6}. $$
Тогда
$$ P=\frac{S}{S_{\text{общ}}} =\frac{(6+\pi\sqrt3)/6}{2} =\frac{6+\pi\sqrt3}{12}. $$
г) Правее прямой $$x=\dfrac{3\pi}{4}$$.
Искомая площадь:
$$ S=\int\limits_{3\pi/4}^{\pi}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_{3\pi/4}^{\pi} =-\cos\pi+\cos\frac{3\pi}{4} =1-\frac{\sqrt2}{2} =\frac{2-\sqrt2}{2}. $$
Тогда
$$ P=\frac{S}{S_{\text{общ}}} =\frac{(2-\sqrt2)/2}{2} =\frac{2-\sqrt2}{4}. $$