Упр.22.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.16. Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограниченной графиком функции у = ех, осью ординат и прямой у = е. Найдите вероятность того, что она лежит: а) в первой координатной четверти; б) правее прямой х = 1; в) правее прямой х = 0,5; г) ниже прямой у = корень e.

Пусть $$S_0$$ — площадь всей фигуры. Она ограничена графиком $$y=e^x$$, осью ординат $$x=0$$ и прямой $$y=e$$. Точка пересечения графика $$y=e^x$$ с прямой $$y=e$$ находится из уравнения

$$e^x=e \Rightarrow x=1.$$

Тогда

$$S_0=\int\limits_0^1 (e-e^x)\,dx=\left(ex-e^x\right)\Big|_0^1=(e-e)-(0-1)=1.$$

а) В первой координатной четверти лежит вся фигура, значит

$$P=1.$$

б) Правее прямой $$x=1$$ точек в данной фигуре нет, поэтому

$$P=0.$$

в) Правее прямой $$x=0{,}5$$ находится часть фигуры при $$x\in[0{,}5;1]$$. Её площадь:

$$S=\int\limits_{0{,}5}^1 (e-e^x)\,dx=\left(ex-e^x\right)\Big|_{0{,}5}^1$$

$$S=(e-e)-(0{,}5e-e^{0{,}5})=\sqrt e-\frac e2.$$

Так как $$S_0=1$$, то

$$P=\frac{S}{S_0}=\sqrt e-\frac e2.$$

г) Ниже прямой $$y=\sqrt e$$ лежит часть фигуры при $$x\in[0;0{,}5]$$, так как

$$e^x=\sqrt e \Rightarrow x=\frac12.$$

Её площадь:

$$S=\int\limits_0^{0{,}5} (\sqrt e-e^x)\,dx=\left(x\sqrt e-e^x\right)\Big|_0^{0{,}5}$$

$$S=\left(0{,}5\sqrt e-e^{0{,}5}\right)-(0-1)=1-\frac{\sqrt e}{2}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S}{S_0}=1-\frac{\sqrt e}{2}.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$\sqrt e-\dfrac e2$$; г) $$1-\dfrac{\sqrt e}{2}$$.