Упр.22.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.15. Точку случайным образом выбирают из фигуры, ограниченной параболой у = х2, осью абсцисс и прямой х = 3. Найдите вероятность того, что она лежит: а) левее прямой х = 1;в) правее прямой х = 2; б) выше прямой у = 4;г) ниже прямой у = 1.

Подробный ответ

Площадь всей фигуры равна

$$S=\int_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}=9.$$

а) Левее прямой $$x=1$$

Искомая площадь:

$$S_1=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13.$$

Тогда вероятность

$$P=\frac{S_1}{S}=\frac{1/3}{9}=\frac{1}{27}.$$

б) Выше прямой $$y=4$$

На фигуре точки выше прямой $$y=4$$ удовлетворяют неравенству

$$x^2\ge 4,\quad x\ge 2$$

так как рассматриваем только часть фигуры при $$0\le x\le 3$$.

Искомая площадь:

$$S_2=\int_2^3 (x^2-4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^3.$$

$$S_2=\left(9-12\right)-\left(\frac83-8\right)= -3+\frac{16}{3}=\frac73.$$

Тогда

$$P=\frac{S_2}{S}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$

в) Правее прямой $$x=2$$

Искомая площадь:

$$S_3=\int_2^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_2^3=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_3}{S}=\frac{19/3}{9}=\frac{19}{27}.$$

г) Ниже прямой $$y=1$$

На фигуре точки ниже прямой $$y=1$$ соответствуют области, где $$x^2\le 1$$, то есть $$0\le x\le 1$$, и части при $$1\le x\le 3$$, лежащей ниже прямой $$y=1$$.

Искомая площадь:

$$S_4=\int_0^1 x^2\,dx+\int_1^3 1\,dx.$$

$$S_4=\frac13+2=\frac73.$$

Тогда

$$P=\frac{S_4}{S}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$