Упр.22.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.14. На координатной плоскости даны точки А(0; 3), В(4; 6), С(6; 0). В треугольнике AВС случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ниже прямой у = 3; б) правее прямой х = 4; в) ближе к прямой АС, чем к прямой АВ; г) ближе к прямой АС, чем к прямой ВС.

Подробный ответ

Найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$ S_{ABC}=36-\frac12\cdot 3\cdot 6-\frac12\cdot 3\cdot 4-\frac12\cdot 2\cdot 6 =36-9-6-6=15. $$

а) Прямая $$y=3$$ проходит через точку $$A$$ и пересекает сторону $$BC$$ в её середине, так как $$B(4;6)$$ и $$C(6;0)$$. Тогда часть треугольника ниже этой прямой составляет половину площади $$ABC$$:

$$ P=\frac{S}{S_{ABC}}=\frac12. $$

б) Прямая $$x=4$$ проходит через точку $$B$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке, делящей её в отношении $$AE:EC=2:1$$, значит площадь части треугольника правее этой прямой равна $$\frac13$$ площади всего треугольника:

$$ P=\frac13. $$

в) Точки, равноудалённые от прямых $$AC$$ и $$AB$$, лежат на биссектрисе угла $$A$$. Тогда искомая область — треугольник, ближе к прямой $$AC$$, чем к прямой $$AB$$. По свойству биссектрисы:

$$ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. $$

Вычислим длины сторон:

$$ AB=\sqrt{4^2+3^2}=5,\qquad AC=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5. $$

Тогда

$$ \frac{BD}{DC}=\frac{5}{3\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{3}, $$

$$ P=\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}}=\frac{DC}{BD+DC} =\frac{1}{\frac{BD}{DC}+1} =\frac{1}{\frac{\sqrt5}{3}+1} =\frac{3}{\sqrt5+3}. $$

г) Аналогично, для биссектрисы угла $$C$$ получаем:

$$ \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}. $$

Вычислим:

$$ CB=\sqrt{(6-4)^2+(0-6)^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}. $$

Тогда

$$ \frac{AD}{DB}=\frac{3\sqrt5}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt2}{4}, $$