Упр.22.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.13. Случайным образом выбирают два решения — х1 и х2 — неравенства |х — 2| меньше или равно 2 и точку (x1; х2) отмечают на координатной плоскости. Найдите вероятность того, что: а) оба решения не больше 2; б) хотя бы одно из решений не больше 2; в) сумма этих решений больше 3; г) х1 и х2 отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1.

Подробный ответ

Решим неравенство:

$$|x-2|\le 2 \iff -2\le x-2\le 2 \iff 0\le x\le 4.$$

Значит, каждое из чисел $$x_1$$ и $$x_2$$ равновероятно выбирается из отрезка $$[0;4]$$, а все точки $$\left(x_1;x_2\right)$$ равномерно заполняют квадрат со стороной $$4$$. Его площадь равна $$16$$.

а) Оба решения не больше $$2$$:

$$0\le x_1\le 2,\quad 0\le x_2\le 2.$$

Это квадрат со стороной $$2$$, его площадь равна $$4$$. Тогда

$$P=\frac{4}{16}=\frac14=0{,}25.$$

б) Хотя бы одно из решений не больше $$2$$.

Удобнее найти вероятность противоположного события: оба решения больше $$2$$.

$$2<x_1\le 4,\quad 2<x_2\le 4.$$

Это квадрат со стороной $$2$$, его площадь равна $$4$$. Тогда

$$P=1-\frac{4}{16}=1-\frac14=\frac34=0{,}75.$$

в) Сумма этих решений больше $$3$$:

$$x_1+x_2>3.$$

На квадрате $$[0;4]\times[0;4]$$ прямая $$x_1+x_2=3$$ отсекает прямоугольный треугольник с катетами $$3$$ и $$3$$. Его площадь:

$$S_{\triangle}=\frac12\cdot 3\cdot 3=\frac92.$$

Тогда площадь области, где $$x_1+x_2>3$$, равна

$$16-\frac92=\frac{23}{2}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{\frac{23}{2}}{16}=\frac{23}{32}.$$

г) Числа $$x_1$$ и $$x_2$$ отличаются друг от друга не более чем на $$1$$:

$$|x_1-x_2|\le 1.$$

Это полоса между прямыми $$x_2=x_1+1$$ и $$x_2=x_1-1$$ внутри квадрата $$[0;4]\times[0;4]$$. Вне полосы остаются два равных прямоугольных треугольника с катетами $$3$$ и $$3$$, их суммарная площадь:

$$2\cdot \frac12\cdot 3\cdot 3=9.$$

Тогда площадь нужной области:

$$16-9=7.$$

Следовательно,

$$P=\frac{7}{16}.$$