Упр.22.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.12. Из отрезка [-1; 1] произвольно выбирают два числа — х и у — и на координатной плоскости отмечают точку (х; у). Какова вероятность того, что: а) эта точка лежит в первой координатной четверти; б) х + у < 0; в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти; г) х + у > 0, а ху < 0?

Точка $(x;y)$ равновероятно выбирается из квадрата $$[-1;1]\times[-1;1],$$ поэтому искомая вероятность равна отношению площади нужной области к площади всего квадрата. Площадь квадрата:

$$S_{\text{вс}}=2\cdot 2=4.$$

1. Точка лежит в первой четверти: $$x\in(0;1),\quad y\in(0;1).$$

   Тогда

   $$P=\frac{1\cdot 1}{4}=\frac14=0{,}25.$$

2. Условие $$x+y<0$$ равносильно $$y<-x.$$

   Площадь области под прямой $$y=-x$$ внутри квадрата:

   $$S=\int_{-1}^{1}(1-(-x))\,dx=\int_{-1}^{1}(1+x)\,dx=\left(x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^{1}=2.$$

   Тогда

   $$P=\frac{2}{4}=\frac12=0{,}5.$$

3. Во второй или в четвертой четверти точка находится тогда и только тогда, когда знаки координат разные:

   $$x<0,\ y>0 \quad \text{или} \quad x>0,\ y<0.$$

   Площадь каждой из этих четвертей равна $$1\cdot 1=1,$$ значит

   $$P=\frac{1+1}{4}=\frac12=0{,}5.$$

4. Условия $$x+y>0$$ и $$xy<0$$ означают, что координаты разных знаков и точка лежит выше прямой $$y=-x.$$ Это возможно только во II и IV четвертях.

   В каждой из этих четвертей нужная область занимает половину четверти, поэтому общая площадь равна $$1.$$ Тогда

   $$P=\frac{1}{4}=0{,}25.$$

Ответ

а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}25$$.