Упр.22.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22 .11. Коэффициенты а и b в уравнении прямой у = ах + b случайным образом выбираются из множества {-5, -4, …,-1, 0, 1,… 4, 5}. Найдите вероятность того, что эта прямая: а) пересекает ось ординат; б) пересекает только две координатные четверти; в) не пересекает ось абсцисс; г) не пересекает вторую координатную четверть. Указание. Считать, что точки осей координат не принадлежат ни одной четверти.

Подробный ответ

Всего значений для каждого из коэффициентов $$a$$ и $$b$$ — 11, поэтому число всех равновозможных пар:

$$N=11\cdot 11=121.$$

Прямая $$y=ax+b$$ всегда пересекает ось ординат в точке $$\left(0;b\right)$$. Значит, это событие достоверное:
$$P=1.$$
Прямая пересекает только две координатные четверти, если она не проходит через начало координат и не является горизонтальной.
Это возможно в двух случаях:
- $$a=0,\ b\ne 0$$ — горизонтальная прямая, таких $$10$$;
- $$b=0,\ a\ne 0$$ — прямая проходит через начало координат, таких $$10$$.
Всего благоприятных случаев:
$$M=10+10=20.$$
Тогда
$$P=\frac{20}{121}.$$
Ось абсцисс прямая не пересекает только тогда, когда она горизонтальна и не совпадает с осью абсцисс, то есть
$$a=0,\ b\ne 0.$$
Таких случаев $$10$$, поэтому
$$P=\frac{10}{121}.$$
Чтобы прямая не пересекала вторую координатную четверть, нужно, чтобы при $$x<0$$ значения $$y$$ не были положительными.
Это выполняется в случаях:
- $$a=0,\ b\le 0$$ — таких $$6$$;
- $$a>0,\ b\le 0$$ — таких $$5\cdot 6=30$$.
Итого:
$$M=6+30=36.$$
Следовательно,
$$P=\frac{36}{121}.$$