Упр.22.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 22.10. На оси ординат случайным образом выбирают точку С(0; y), 0 меньше или равно у меньше или равно 8, и соединяют ее с фиксированной точкой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АС к положительному направлению оси ординат: а) тупой;б) меньше 45° градусов;в) острый;г) больше 60 градусов?

Пусть точка $$C(0;y)$$, где $$0 \le y \le 8$$. Тогда для отрезка $$AC$$ имеем

$$\tg \alpha=\frac{4-y}{4}.$$

Так как точка $$C$$ выбирается равновероятно на отрезке длины $$8$$, вероятность равна отношению длины подходящего промежутка значений $$y$$ к $$8$$.

1. а) Угол тупой.

   Тупой угол означает $$\tg \alpha<0$$:

   $$\frac{4-y}{4}<0 \;\Rightarrow\; 4-y<0 \;\Rightarrow\; y>4.$$

   Подходящие значения: $$4<y\le 8$$, длина промежутка равна $$8-4=4$$.

   $$P=\frac{4}{8}=\frac12.$$

2. б) Угол меньше $$45^\circ$$.

   Для острого угла меньше $$45^\circ$$ нужно

   $$0<\tg \alpha<1.$$

   Но

   $$\frac{4-y}{4}<1 \;\Rightarrow\; 4-y<4 \;\Rightarrow\; y>0,$$

   а условие $$\tg \alpha>0$$ даёт $$y<4$$. Значит, нужно одновременно $$0<y<4$$ и $$\tg \alpha<1$$, что выполняется только при $$y<0$$, а таких значений в отрезке $$[0;8]$$ нет.

   Следовательно,

   $$P=0.$$

3. в) Угол острый.

   Острый угол означает $$\tg \alpha>0$$:

   $$\frac{4-y}{4}>0 \;\Rightarrow\; 4-y>0 \;\Rightarrow\; y<4.$$

   Подходящие значения: $$0\le y<4$$, длина промежутка равна $$4$$.

   $$P=\frac{4}{8}=\frac12.$$

4. г) Угол больше $$60^\circ$$.

   Для такого угла нужно

   $$\tg \alpha>\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$\frac{4-y}{4}>\sqrt{3} \;\Rightarrow\; 4-y>4\sqrt{3} \;\Rightarrow\; y<4-4\sqrt{3}.$$

   Но $$4-4\sqrt{3}<0$$, а на отрезке $$[0;8]$$ таких значений нет. Значит, вероятность равна нулю.

   $$P=0.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$0$$; в) $$\frac12$$; г) $$0$$.